Введите слово или словосочетание на любом языке 👆
Язык:
Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT
На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:
- как употребляется слово
- частота употребления
- используется оно чаще в устной или письменной речи
- варианты перевода слова
- примеры употребления (несколько фраз с переводом)
- этимология
Что (кто) такое Диофантовы уравнения - определение
Уравнение Диофанта; Диофантовы уравнения; Алгебраическое диофантово уравнение; Уравнение в целых числах
Найдено результатов: 112
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.
Диофантовы уравнения
(по имени древнегреческого математика Диофанта)
алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие Д. у. в современной математике расширено: это уравнения, у которых разыскиваются решения в алгебраических числах (См. Алгебраическое число). Д. у. называются также неопределёнными. Простейшее Д. у. ax + by = 1, где а и b - целые Взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений: если x0 и у0 - одно решение, то числа х = x0 + bn, у = y0-an (n - любое целое число) тоже будут решениями. Так, все целые решения уравнения 2x + 3у = 1 получаются по формулам х = 2 + 3n, у = - 1 - 2n (здесь x0 = 2, у0 = - 1). Другим примером Д. у. является x2 + у2 = z2. Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами (См. Пифагоровы числа). Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам х = m2 - n2, у = 2mn, z = m2 + n2, где m и n - целые числа (m> n > 0).
Диофант в сочинении "Арифметика" занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Д. у. Общая теория решения Д. у. первой степени была создана в 17 в. французским математиком К. Г. Баше; к началу 19 в. трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса в основном было исследовано Д. у. вида
ах2 + bxy + су2 + dx + еу + f = 0,
где а, b, с, d, е, f - целые числа, т. е. общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, например, что Д. у. x2 - dy2 = 1 (Пелля уравнение), где d - целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого уравнения, а Лагранж доказал бесконечность числа решений. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное Д. у. второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм (См. Квадратичная форма), являющуюся основой решения некоторых типов Д. у. В исследованиях Д. у. степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты серьёзные успехи лишь в 20 в. А. Туз установил, что Д. у.
a0 xn + a1xn-1y +... + anyn = с
(где n ≥ 3, a0, а1,..., an, с - целые и многочлен a0tn + a1, tn-1 +...+ an неприводим в поле рациональных чисел) не может иметь бесконечного числа целых решений. Английским математиком А. Бейкером получены эффективные теоремы о границах решений некоторых таких уравнений. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Д. у., но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Д. у. вида
ax3 + y3 =1.
Существует много направлений теории Д. у. Так, известной задачей теории Д. у. является Ферма великая теорема. Советским математикам (Б. Н. Делоне, А. О. Гельфонду, Д. К. Фаддееву и др.) принадлежат фундаментальные работы по теории Д. у.
Лит.: Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 2 изд., М., 1956; Dickson L. Е., History of the theory of numbers, v. 2, Wash., 1920; Skolem Th., Diophantische Gleichungen, B., 1938.
Сопряжённые дифференциальные уравнения
понятие теории дифференциальных уравнений. Уравнением, сопряжённым с дифференциальным уравнением
, (1)
называется уравнение
, (2)
Соотношение сопряженности взаимно. Для С. д. у. имеет место тождество
,
где ψ (у, z) - билинейная форма относительно у, z и их производных до (n - 1)-го порядка включительно. Знание k интегралов сопряжённого уравнения позволяет понизить на k единиц порядок данного уравнения. Если
y1, у2,... уn (3)
- фундаментальная система решений уравнения (1), то фундаментальная система решений уравнения (2) даётся формулами
(i = 1, 2, ..., n),
где Δ - определитель Вроньского (см. Вронскиан) системы (3). Если для уравнения (1) заданы краевые условия, то существуют сопряжённые с ними краевые условия для уравнения (2) такие, что уравнения (1) и (2) с соответствующими краевыми условиями определяют сопряжённые дифференциальные операторы (см. Сопряжённые операторы). Понятие сопряженности обобщается также на системы дифференциальных уравнений и на уравнения с частными производными.
Уравнения Ефименко
Уравне́ния Ефиме́нко описывают поведение электрического и магнитного поля в терминах запаздывающих источников. Объединённые с уравнением непрерывности, уравнения Ефименко эквивалентны уравнениям Максвелла электромагнетизма.
Уравнения Эйлера
ОПИСЫВАЮТ ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, СВЯЗАННОЙ С САМИМ ТЕЛОМ
Уравнения Эйлера (механика); Эйлера уравнения
В физике, Уравнения Эйлера описывают вращение твердого тела в системе координат, связанной с самим телом.
Эйлера уравнения
ОПИСЫВАЮТ ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, СВЯЗАННОЙ С САМИМ ТЕЛОМ
Уравнения Эйлера (механика); Эйлера уравнения
1) в механике - динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.
Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид
Ixω̇x + (Iz - Iy) ωyωz = Mx,
Iy
+ (Ix - Iz) ωzωx = My, (1)
Izω̇z + (Iy - Ix) ωxωy = Mz,
где Ix, Iy, Iz - моменты инерции (См. Момент инерции) тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, ωх, ωу, ωz - проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, Mx, My, Mz - гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; ω̇x, 
, ω̇z - проекции углового ускорения.
Кинематические Э. у. дают выражения ωх, ωу, ωz через Эйлеровы углы φ, ψ, θ и имеют вид
ωx= Ψ̇sin θ sinφ + θ̇cosφ,
ωу= Ψ̇sin θ cosφ - θ̇sinφ, (2)
ωz= 
+ 
cos θ.
Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.
2) В гидромеханике - дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность ρ, проекции скоростей частиц жидкости u, υ, ω и проекции действующей объёмной силы X, У, Z рассматривать как функции координат x, у, z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:
Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить u, υ, ω, р, ρ, как функции х, у, z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера
В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния ρ = φ (р) (или ρ - const, когда жидкость несжимаема).
Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.
Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.
С. М. Тарг.
РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
![критическими точками]].](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Polynomialdeg4.png?width=200 "критическими точками]].")
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО С ОДНИМ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ (ЧИСЛАМИ, ФУНКЦИЯМИ ИЛИ ДР.)
Корень уравнения; Уравнения; Корни уравнения; Равносильные уравнения; Неизвестные
уравнения, имеющие одно и то же множество корней (в случае кратных корней нужно, чтобы кратности соответствующих корней совпадали). Так, из трех уравнений , 3х - 7 = 5, (х - 4)2 = 0 первое и второе - равносильные уравнения, а первое и третье - не равносильные уравнения (т. к. кратность корня х = 4 для первого уравнения равна 1, а для третьего равна 2).
УРАВНЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО С ОДНИМ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ (ЧИСЛАМИ, ФУНКЦИЯМИ ИЛИ ДР.)
Корень уравнения; Уравнения; Корни уравнения; Равносильные уравнения; Неизвестные
1. математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами (числами или функциями), верное только для определенных наборов этих величин.
Квадратное у. Дифференциальное у.
2. см. УРАВНЯТЬ
.
.
Уравнения Гамильтона
Уравне́ния Гамильто́на (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:
УРАВНЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО С ОДНИМ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ (ЧИСЛАМИ, ФУНКЦИЯМИ ИЛИ ДР.)
Корень уравнения; Уравнения; Корни уравнения; Равносильные уравнения; Неизвестные
математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями (корнями). Бывают алгебраические уравнения, напр. х2 = 2, и неалгебраические уравнения, называемые трансцендентными, напр. 2х = х. См. также Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Кубическое уравнение.
Википедия
Диофантово уравнение
Диофа́нтово уравнение (также уравнение в целых числах) — это уравнение вида
где — целочисленная функция, например, полином с целыми коэффициентами, а переменные принимают целые значения. «Диофантовым» уравнение названо в честь древнегреческого математика Диофанта.
Также при рассмотрении вопроса разрешимости переменные часто разделяют на параметры (значения которых предполагаются фиксированными) и неизвестные. Так, уравнение
с параметрами и неизвестными считается разрешимым при данных значениях набора параметров , если существуют набор чисел , при которых это равенство становится верным.
Таким образом, диофантовыми уравнениями называют уравнения с целыми коэффициентами, для которых требуется найти целочисленные (или натуральные) решения. При этом количество неизвестных в уравнении должно быть не менее двух. Своё название уравнения получили в честь выдающегося античного математика Диофанта Александрийского, который, как считается, первым систематически изучал неопределённые уравнения и описывал методы их решения. Все сохранившиеся записи собраны в книгу «Арифметика». После Диофанта схожим изучением неопределённых уравнений занимались индусские математики, начиная примерно с пятого века. В Европе решением неопределённых уравнений занимались практически все крупные алгебраисты своего времени: Леонардо Фибоначчи (ок.1170 — 1250 гг.), Франсуа Виет (1540—1603 гг.), Симон Стевин (ок. 1549—1620 гг.).
Проблема решения уравнений в целых числах рассмотрена до конца для уравнений с одним неизвестным, а также для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными.
